¿Cuál es la probabilidad de que al menos un equipo sudamericano llegue a las semifinales de Sudáfrica 2010?

Dos partidos de cuartos de final ya están confirmados, y en ambos veremos a un equipo sudamericano enfrentando a un equipo de otra parte del mundo:

Uruguay vs. Ghana
Argentina vs. Alemania

En los partidos de cuartos de final a confirmar, y en el caso de que gane Paraguay, veremos exactamente lo mismo:

Brasil o Chile vs. Holanda o Eslovaquia
Paraguay vs. España o Portugal

En base a esta situación en donde en los cuatro partidos se enfrenta un equipo sudamericano vs. un equipo de otra parte del mundo, analizaremos la probabilidad de que al menos un equipo sudamericano llegue a semifinales. Luego pasaremos a hacer el mismo análisis, pero con la alternativa de que Paraguay pierda su partido contra Japón (esperemos que esto no ocurra).

Suponiendo que el nivel de los equipos que llegan a cuartos de final es muy similar, podríamos pensar en que todos los equipos tienen la misma probabilidad de ganar y de perder su próximo partido, 50% y 50% para cada suceso (esto no es tan así, pero un análisis más profundo terminaría aburriendo hasta al lector más hambriento). Poniendo esto en un ejemplo, la probabilidad de que Uruguay le gane a Ghana es de un 50%, al igual que la probabilidad de que Uruguay pierda contra Ghana (el otro 50%).

¿Cuál es la probabilidad de que al menos un equipo sudamericano llegue a las semifinales de la copa del mundo? A continuación veremos todas las combinaciones posibles en donde al menos un equipo sudamericano llega a semifinales, y utilizando la ley de la multiplicación para sucesos independientes, veremos cuales son las probabilidades de estas combinaciones, para terminar sumando las mismas:


BoCH: Brasil o Chile

HoES: Holanda o Eslovaquia

PoES: Portugal o España

La probabilidad de que al menos un equipo sudamericano llegue a semifinales es de 0,9375 (93,75%). Si miramos bien la tabla de combinaciones, veremos que solo una combinación quedó afuera de nuestra pregunta original. La combinación Otro - Otro - Otro - Otro, la cual tiene una probabilidad asociadad de 0,0625, es la única combinación que no entro en juego. Si a la probabilidad total que vale 1 (o 100%), le restamos la probabilidad de esta última combinación (0,0625 o 6,25%), obtenemos nuevamente el mismo resultado: 0,9375. Lo que hicimos fue aplicar la ley de al menos uno:

P (al menos uno) = 1 - P (ninguno)

En nuestro ejemplo:

P (al menos un equipo sudamericano en semifinales) = 1 - P (ningún equipo sudamericano en semifinales)

P (al menos un equipo sudamericano en semifinales) = 1 - 0,0625 = 0,9375

De esta forma y con un cálculo rápido, arribamos al mismo resultado de la tediosa tabla de combinaciones que presentamos.

En el caso de que Paraguay pierda su partido contra Japón, quedarán tres partidos de cuartos de final en donde un equipo sudamericano se enfrente a un equipo de otra parte del mundo. Volvemos a realizar nuestra pregunta original, y vemos que la única combinación que no entra en la misma, es la combinación en donde los tres equipos sudamericanos pierden sus partidos. Aplicamos la ley de al menos uno:

P (al menos un equipo sudamericano en semifinales) = 1 - P (ninguno de estos tres equipos en semifinales)

P (al menos un equipo sudamericano en semifinales) = 1 - 0,5 x 0,5 x 0,5 = 1 - 0,125 = 0,875

La probabilidad de ver a al menos un equipo sudamericano en semifinales y en el caso de que Paraguay no llegue a instancias de cuartos de final, es de un 87,5%.

Con estos resultados y cerrando esta entrada, Sudamérica mantiene firme la esperanza de ver a al menos uno de sus hijos en las semifinales de Sudáfrica 2010.